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“ 線性回歸是機器學習中的入門模型，也是比較常用的模型之一。”
今天和大家分享一下線性回歸模型的一些內(nèi)容。
其實線性回歸模型，很多朋友應(yīng)該都在高中階段接觸過。但高中接觸的，只是一元線性回歸。
所謂一元線性回歸，指的是自變量的個數(shù)只有1個的情況下（即Y=aX+b），而自變量個數(shù)有多個時候，則是多元線性回歸。直觀的表達式：
從應(yīng)用的角度上講，明顯多元線性回歸的實踐應(yīng)用更廣泛一些，畢竟一個自變量的情況很少。
下面我們看一下回歸擬合。由于多元（即多維）的情況下，圖形是畫不出來的，因此我們這里以二維的圖形為例。
圖中的橫軸即自變量，縱軸即因變量。每個藍點是樣本點，樣本點匯合在一起，也就是數(shù)據(jù)集，我們用下面的集合來表示數(shù)據(jù)集：
其中，x是p維向量，y是實數(shù)。因此，關(guān)于自變量、因變量可以記：
紅色直線則是擬合后的回歸方程，直線上的紅點是樣本點的映射。
回歸的目的，即基于樣本點，找到這樣的一條直線，使得這條直線能盡可能擬合樣本點的趨勢。
如何找到這條直線呢，也就是求w，使得“盡可能擬合”？其實關(guān)于擬合的方式，有很多方法，我們今天講最常用的最小二乘法，以及在此基礎(chǔ)上改良的嶺回歸。
下面我們首先詳細介紹一下最小二乘法的概念以及不同思路的解釋。
我們首先定義一下?lián)p失函數(shù)（關(guān)于損失函數(shù)，后面會有一篇專門的介紹，主要的作用是評價模型預(yù)測值和真實值之間的差距，也就是模型準確度，并以此進行機器學習）。
這個比較好理解，其實就是模型的預(yù)測值f（w）與真實值y的差的平方和。我們的目標是求參數(shù)向量w，使得損失函數(shù)L（w）達到最小值，這樣就使得模型（也就是回歸直線）與真實的樣本集擬合最好。用這種方法，就是最小二乘法。
從名稱中也可以看出來，就是使得“二乘法”最小。
當然了，損失函數(shù)如果是其他形式，就是其他進行線性回歸尋找直線的方法了，就不是最小二乘法。
代數(shù)解法具體就不展開了，簡單說一下思路，了解即可。
首先，對損失函數(shù)經(jīng)過一些列的變形計算，然后令導(dǎo)數(shù)為0，則可以取最值，我們可以得出最終w的取值：
這就是通過代數(shù)方法，求解最小二乘法的矩陣表達式。這個表達式比較重要，相當于最終的結(jié)論，下文也會提及。
從幾何上，最小二乘法該如何表示呢？參考下圖：
其實最小二乘就是使得上圖中虛線部分的長度求平方后的加和值最小的直線。
近期看了一個視頻，講最小二乘法的另外一種幾何表達。令
來求β使得Y與X的組合距離最近。由于投影最近，因此有：
更容易可以得到表達式，和代數(shù)的解法是一致的。
（4）最小二乘的概率視角
最后再看一下概率和最小二乘的關(guān)系。首先，我們記：
根據(jù)統(tǒng)計學的知識，很容易知道：
根據(jù)極大似然的參數(shù)估計方法，（省略一萬步），最終有：
我們發(fā)現(xiàn)當噪音服從均值為0的正態(tài)分布時，通過極大似然估計得到的回歸方程和最小二乘法的表達式是一樣的。
下面我們聊一下關(guān)于過擬合以及解決過擬合的方法。
上面我們講的最小二乘法的過程，其實是比較理想化的，即認為樣本量遠遠大于特征維度。在
表現(xiàn)為
是可逆的。
但在實踐操作中，經(jīng)常出現(xiàn)樣本容量過少或者特征維度過多的情況。這時其實不可逆。
比如下圖：
如果我們只有兩個紅色的樣本點，如果按照最小二乘的方法，那么將得出紅色的回歸直線，符合使得損失函數(shù)最小。但是呢，實際上的樣本是上圖中的所有點，明顯這條回歸直線并不是最優(yōu)的。
極端情況下，只有一個樣本，那通過該樣本可以有無數(shù)條線，都使得損失函數(shù)為0。
這就是過擬合。
如何解決過擬合呢？
其實上文也提到了，過擬合是由于樣本容量遠小于特征維度導(dǎo)致的。那么相應(yīng)的，我們可以通過增加樣本容量或者減少特征維度（即降維，例如主成分分析）進行解決過擬合。
除此之外，還有一種方法，這就是正則化。
其實正則化就是在原來的損失函數(shù)上加上一個正則化項（也可以稱為懲罰項）。主要就是參數(shù)λ。最終的優(yōu)化目標由原來的殘差平方和最小優(yōu)化成使得殘差平方和+懲罰項最小。
上面是兩種不同的正則化項，主要是范數(shù)是1還是2的區(qū)別。第一種我們稱為L1正則，也叫l(wèi)asso正則化；第二種我們成為嶺回歸。
加上正則化項后，原來的最小二乘的矩陣表達式變?yōu)椋ň唧w計算過程省略）：
下圖是不同λ取值時對回歸方程的影響：
關(guān)于線性回歸相關(guān)的內(nèi)容，今天先介紹這些。很多細節(jié)沒有過多展開，畢竟內(nèi)容確實比較多一些。這里就先理了理核心脈絡(luò)，對該算法有個整體上的認知即可。至于具體的應(yīng)用，咱們后續(xù)結(jié)合案例再來分享，謝謝大家！
-END-
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5. 不實信息，主要表現(xiàn)為：
1)可能存在事實性錯誤或者造謠等內(nèi)容；
2)存在事實夸大、偽造虛假經(jīng)歷等誤導(dǎo)他人的內(nèi)容；
3)偽造身份、冒充他人，通過頭像、用戶名等個人信息暗示自己具有特定身份，或與特定機構(gòu)或個人存在關(guān)聯(lián)。
6. 傳播封建迷信，主要表現(xiàn)為：
1)找人算命、測字、占卜、解夢、化解厄運、使用迷信方式治??；
2)求推薦算命看相大師；
3)針對具體風水等問題進行求助或咨詢；
4)問自己或他人的八字、六爻、星盤、手相、面相、五行缺失，包括通過占卜方法問婚姻、前程、運勢，東西寵物丟了能不能找回、取名改名等；
7. 文章標題黨，主要表現(xiàn)為：
1)以各種夸張、獵奇、不合常理的表現(xiàn)手法等行為來誘導(dǎo)用戶；
2)內(nèi)容與標題之間存在嚴重不實或者原意扭曲；
3)使用夸張標題，內(nèi)容與標題嚴重不符的。
8.「飯圈」亂象行為，主要表現(xiàn)為：
1)誘導(dǎo)未成年人應(yīng)援集資、高額消費、投票打榜
2)粉絲互撕謾罵、拉踩引戰(zhàn)、造謠攻擊、人肉搜索、侵犯隱私
3)鼓動「飯圈」粉絲攀比炫富、奢靡享樂等行為
4)以號召粉絲、雇用網(wǎng)絡(luò)水軍、「養(yǎng)號」形式刷量控評等行為
5)通過「蹭熱點」、制造話題等形式干擾輿論，影響傳播秩序
9. 其他危害行為或內(nèi)容，主要表現(xiàn)為：
1)可能引發(fā)未成年人模仿不安全行為和違反社會公德行為、誘導(dǎo)未成年人不良嗜好影響未成年人身心健康的；
2)不當評述自然災(zāi)害、重大事故等災(zāi)難的；
3)美化、粉飾侵略戰(zhàn)爭行為的；
4)法律、行政法規(guī)禁止，或可能對網(wǎng)絡(luò)生態(tài)造成不良影響的其他內(nèi)容。
二、違規(guī)處罰
本網(wǎng)站通過主動發(fā)現(xiàn)和接受用戶舉報兩種方式收集違規(guī)行為信息。所有有意的降低內(nèi)容質(zhì)量、傷害平臺氛圍及欺凌未成年人或危害未成年人身心健康的行為都是不能容忍的。
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三、申訴
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