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“ 參數(shù)估計是統(tǒng)計學(xué)的重要內(nèi)容。”
之前的文章《總體、樣本與統(tǒng)計量》、《卡方分布、t分布與F分布》等介紹了統(tǒng)計學(xué)的一些基礎(chǔ)知識，今天分享一下關(guān)于參數(shù)估計的基本概念。尤其是極大似然估計，有著重要的應(yīng)用。
首先，什么是參數(shù)估計呢？
之前我們其實已經(jīng)了解到很多種分布類型了，比如正態(tài)分布、均勻分布、泊松分布等。拿正態(tài)分布舉例，決定正態(tài)分布的有兩個參數(shù)：均值和方差。因此，參數(shù)就是決定分布的關(guān)鍵性數(shù)據(jù)。知道了參數(shù)，也就是知道了分布的詳細(xì)內(nèi)容。
問題來了，總體的分布類別如果我們知道了，是不是只要知道分布的參數(shù)，就能知道總體的分布詳情？是的。那如何能知道總體分布的參數(shù)數(shù)值呢？這就是參數(shù)估計。即，用樣本的數(shù)據(jù)來構(gòu)造函數(shù)（即統(tǒng)計量），來估計總體參數(shù)，這就是參數(shù)估計。
上圖就是用樣本統(tǒng)計量估計總體的過程。這也是統(tǒng)計學(xué)的重要意義之一。
首先，什么是點估計和區(qū)間估計？
點估計就是用一個數(shù)值對對總體參數(shù)給出估計；而區(qū)間估計是在點估計基礎(chǔ)上，給定一個具體的估計范圍。
例如，估計中國全部人口的平均身高。161cm就是一個點估計，150cm~173cm就是一個區(qū)間估計。
區(qū)間估計和置信度相綁定。即估計的區(qū)間覆蓋真實參數(shù)的概率。
常用的區(qū)間估計和點估計方法見下圖：
其中矩估計、極大似然估計在下文中展開。區(qū)間估計下次分析。
什么是矩估計呢？
矩估計比較好理解，就是用樣本的矩直接作為總體矩的估計值。啥意思呢？就是我們將樣本的矩計算出來，直接作為總體的矩即可。
當(dāng)然，這里的階數(shù)要保持一致。及樣本的一階矩估計總體一階矩，樣本二階矩估計總體的二階矩……
從以上定義中也可以看出來，矩估計法是一種點估計的方法。
極大似然估計，是另一種點估計方法，也是機(jī)器學(xué)習(xí)等學(xué)科中經(jīng)常使用到的方法。簡直就是重中之重。
定義：使樣本事件發(fā)生概率最大的參數(shù)值，作為總體參數(shù)的估計值，就是極大似然估計。
怎么理解呢？舉個例子。
比如箱子中有100個球，共兩種顏色白和黑。已知白球和黑球的比例是1:99（但不知道誰是1）。目標(biāo)是估計箱子中什么顏色是99個。隨機(jī)抽取一個球，發(fā)現(xiàn)是白球。那么從直觀上講，是不是大概率箱子中是99個白球？當(dāng)然也有可能箱子中是99個黑球，正好有1個白球還正好被抽到了。但是明顯這種情況概率較小。
上面這個例子，就是極大似然估計的過程。選擇的是概率最大的參數(shù)。
極大似然估計的應(yīng)用方法，通常遵循以下步驟：
步驟一：寫出總體的概率/密度函數(shù)
當(dāng)總體是離散型變量時，寫的是概率函數(shù)；當(dāng)總體是連續(xù)型函數(shù)時，寫的是密度函數(shù)。
步驟二：寫出似然函數(shù)
構(gòu)造似然函數(shù)如下：
從上面的公式中，其實就是將每個樣本觀測值帶入總體概率函數(shù)中，求所有樣本的概率連乘。這個連乘，就是關(guān)于總體參數(shù)的一個似然函數(shù)。
似然函數(shù)有了，下面，我們的目標(biāo)就是求使得該函數(shù)取最大值時的參數(shù)值，這個參數(shù)值就將作為一個總體參數(shù)的極大似然估計。
步驟三：兩邊取ln
由于通常似然函數(shù)都是連乘的形式，不容易取到最值，因此采用取ln的方式，將連乘變形為加法。
步驟四：兩邊求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)=0，求參數(shù)
通常情況下，最值都是在導(dǎo)數(shù)為0的地方取到，這里令導(dǎo)數(shù)=0，求參數(shù)。即此時的參數(shù)值，使得導(dǎo)數(shù)為0，取得整體似然函數(shù)的最大值。即，此時的參數(shù)值是整體參數(shù)的極大似然估計。
當(dāng)然，如果是多個參數(shù)的情況下，這里則分別對每個參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，令偏導(dǎo)數(shù)為0，分別求各個參數(shù)的極大似然估計。
上面我們講到的兩種點估計方法。那如何判斷一個點估計是好還是壞呢？這就是點估計的優(yōu)良性判斷，主要有以下3個準(zhǔn)則：無偏性、有效性、相合性（一致性）。
無偏性的含義是：用樣本估計的參數(shù)值的期望，等于真實值。
這個其實很好理解。我們進(jìn)行參數(shù)估計不就是為了盡可能“猜”出總體參數(shù)的數(shù)值嘛，如果連期望都不相等，那豈不是基本就估計錯了么……
上圖就是樣本的期望明顯和靶心（總體參數(shù)）有系統(tǒng)性偏差，顯然不是好的估計。
因此，無偏估計是要明顯好于有偏估計的。有以下 結(jié)論：
樣本均值是總體均值的無偏估計
樣本方差是總體方差的無偏估計（修正后的，分母是n-1。對，就是為了使得樣本方差是無偏的。未修正的，就是有偏估計）
有效性的含義是：用樣本估計的參數(shù)值的方差，如果越小，就越有效。
上圖就比較清楚的反映了。兩個估計都是無偏的，但是第二個估計明顯更集中，方差更小，因此效果也就更好。因為更加容易和真實值（即總體參數(shù)）相近。
因此，對于多個估計，如果都是無偏的，我們優(yōu)先選擇有效性更強的作為總體的估計。
相合性的含義是：當(dāng)樣本量越來越大的時候，估計值和真實值的距離越來越小。
這個比較好理解，就不展開了。
關(guān)于參數(shù)估計、極大似然估計等，今天分享到這里，歡迎繼續(xù)關(guān)注~
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6. 傳播封建迷信，主要表現(xiàn)為：
1)找人算命、測字、占卜、解夢、化解厄運、使用迷信方式治??；
2)求推薦算命看相大師；
3)針對具體風(fēng)水等問題進(jìn)行求助或咨詢；
4)問自己或他人的八字、六爻、星盤、手相、面相、五行缺失，包括通過占卜方法問婚姻、前程、運勢，東西寵物丟了能不能找回、取名改名等；
7. 文章標(biāo)題黨，主要表現(xiàn)為：
1)以各種夸張、獵奇、不合常理的表現(xiàn)手法等行為來誘導(dǎo)用戶；
2)內(nèi)容與標(biāo)題之間存在嚴(yán)重不實或者原意扭曲；
3)使用夸張標(biāo)題，內(nèi)容與標(biāo)題嚴(yán)重不符的。
8.「飯圈」亂象行為，主要表現(xiàn)為：
1)誘導(dǎo)未成年人應(yīng)援集資、高額消費、投票打榜
2)粉絲互撕謾罵、拉踩引戰(zhàn)、造謠攻擊、人肉搜索、侵犯隱私
3)鼓動「飯圈」粉絲攀比炫富、奢靡享樂等行為
4)以號召粉絲、雇用網(wǎng)絡(luò)水軍、「養(yǎng)號」形式刷量控評等行為
5)通過「蹭熱點」、制造話題等形式干擾輿論，影響傳播秩序
9. 其他危害行為或內(nèi)容，主要表現(xiàn)為：
1)可能引發(fā)未成年人模仿不安全行為和違反社會公德行為、誘導(dǎo)未成年人不良嗜好影響未成年人身心健康的；
2)不當(dāng)評述自然災(zāi)害、重大事故等災(zāi)難的；
3)美化、粉飾侵略戰(zhàn)爭行為的；
4)法律、行政法規(guī)禁止，或可能對網(wǎng)絡(luò)生態(tài)造成不良影響的其他內(nèi)容。
二、違規(guī)處罰
本網(wǎng)站通過主動發(fā)現(xiàn)和接受用戶舉報兩種方式收集違規(guī)行為信息。所有有意的降低內(nèi)容質(zhì)量、傷害平臺氛圍及欺凌未成年人或危害未成年人身心健康的行為都是不能容忍的。
當(dāng)一個用戶發(fā)布違規(guī)內(nèi)容時，本網(wǎng)站將依據(jù)相關(guān)用戶違規(guī)情節(jié)嚴(yán)重程度，對帳號進(jìn)行禁言 1 天、7 天、15 天直至永久禁言或封停賬號的處罰。當(dāng)涉及欺凌未成年人、危害未成年人身心健康、通過作弊手段注冊、使用帳號，或者濫用多個帳號發(fā)布違規(guī)內(nèi)容時，本網(wǎng)站將加重處罰。
三、申訴
隨著平臺管理經(jīng)驗的不斷豐富，本網(wǎng)站出于維護(hù)本網(wǎng)站氛圍和秩序的目的，將不斷完善本公約。
如果本網(wǎng)站用戶對本網(wǎng)站基于本公約規(guī)定做出的處理有異議，可以通過「建議反饋」功能向本網(wǎng)站進(jìn)行反饋。
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