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咨詢?nèi)绾纬蔀榇河鹱髡哒埪?lián)系：鳥哥筆記小羽毛（ngbjxym）
注：本文作者是Gauntlet創(chuàng)始人Tarun Chitra、placeholder研究員Alex Evans以及斯坦福電氣工程博士Guillermo Angeris，原文標(biāo)題為《Can one hear the shape of a CFMM?(part 2)》
在本系列文章的第一篇，我們研究了恒定函數(shù)做市商（CFMM）的交易函數(shù)曲率是如何影響交易者行為的，我們還提到了我們將發(fā)布的論文《狗尾巴什么時候搖？曲率與做市》，其中會說明價格穩(wěn)定性與曲率的關(guān)系?；叵胍幌?，非正式地說，CFMM交易函數(shù)的曲率描述了CFMM在一筆小交易后的報價絕對變化。當(dāng)CFMM是主要市場時，一筆交易對相同資產(chǎn)的次級市場的影響，取決于兩個市場的曲率比率。這說明了一個觀點(diǎn)，即市場之間的價格穩(wěn)定性與市場的曲率密切相關(guān)。而一個自然的問題是：為什么理性的流動性提供者（LP）選擇將流動性放在主要市場或者次級市場？或者，他們是如何比較這些市場的回報的？
在這篇文章中，我們將著重從兩個角度回答這些問題：
證明LP在均值回歸資產(chǎn)對的情況下能夠獲得最大的利潤；
在交易者掌握信息的情況下，衡量LP面臨的逆向選擇;
第二種情況下的LP收益，類似于Albert Kyle、Lawrence Glosten以及Paul Milgrom（2020年諾貝爾紀(jì)念獎得主）的經(jīng)典市場微觀結(jié)構(gòu)結(jié)果。我們將證明，LP收益的這兩個方面都與曲率密切相關(guān)。
對于給定的價格變動，較低曲率的CFMM將給LP帶來更大的損失。
同時，較低的曲率提供了較低的滑點(diǎn)，從而吸引更多的交易者和手續(xù)費(fèi)收入。研究無常損失與費(fèi)用之間的權(quán)衡，可以讓LP優(yōu)化其回報。而最優(yōu)曲率將取決于市場的行為。在這里，我們可以選擇兩種模型：一種是對獨(dú)立于市場機(jī)制的外部價格過程進(jìn)行建模，另一種是直接對基礎(chǔ)市場微觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模。
就前者而言，該過程的相關(guān)特征是相關(guān)性、波動性以及均值回歸。
對于均值回歸資產(chǎn)，“收益率最優(yōu)”曲率通常較低。CFMM流動性提供者從均值回歸中獲利，因?yàn)閮浣鸹謴?fù)到了以前的水平，而費(fèi)用則是雙向累積的。在強(qiáng)均值回歸資產(chǎn)的情況下，無常損失的風(fēng)險較低，流動性提供者（LP）可以提供較低的曲率來吸引交易者。最知名的例子就是Curve，其穩(wěn)定幣通常在1美元的價格附近徘徊，套利者很快就會糾正偏離這些水平的情況。因此，Curve提供了一種超低曲率的CFMM，它比Uniswap等同等的高曲率池吸引了更多的交易興趣。只要穩(wěn)定幣繼續(xù)回歸至美元價值的平均值，Curve LP的表現(xiàn)將優(yōu)于其它高曲率CFMM的LP。在我們的論文中，我們證明了一個簡單的結(jié)果，即對于均值回歸資產(chǎn)，要讓LP獲益，協(xié)議需收取的費(fèi)用取決于曲率：
對于正的常數(shù)C > 0。
很多協(xié)議具有隨時間變化的交易函數(shù)。在下面，我們看到了Yield協(xié)議（左）和Notional協(xié)議（右）的邊際價格函數(shù)。
這兩個協(xié)議旨在提供固定利率貸款并有效利用CFMM的曲率來控制用戶的激勵。在時間t，這些系統(tǒng)的用戶有效地創(chuàng)建了在時間t + T到期的固定利率，零息債券。用戶創(chuàng)建債券時，他們以低于1債券/ 1 Dai的價格鑄造債券。用戶可以在CFMM市場上用Dai交易債券，而Dai面臨的滑點(diǎn)反映了提前贖回的成本。
這類似于在傳統(tǒng)的回購協(xié)議市場中提前贖回債券。當(dāng)我們接近時間t + T時，CFMM曲率會降低，從而激勵用戶關(guān)閉其債券（例如，將其交易為Dai）。到期時，該CFMM沒有曲率，這意味著用戶可以用1:1的比例兌換Dai。請注意，隨著我們越來越接近到期日，這些CFMM的設(shè)計(jì)會鼓勵均值回歸（例如，達(dá)到1：1）。以上我們的結(jié)果表明，在設(shè)計(jì)這種機(jī)制時，還需要調(diào)整費(fèi)用，以確保LP有利可圖。
描述LP收益的另一種方法，是考慮LP、套利者和知情交易者之間博弈的預(yù)期利潤。為了構(gòu)建我們的游戲，我們首先從傳統(tǒng)的市場微觀結(jié)構(gòu)文獻(xiàn)中汲取靈感。在這些文獻(xiàn)中，比如 Kyle的連續(xù)拍賣和內(nèi)幕交易（1985），考慮了做市商與噪音和知情交易者之間的博弈。
在這些模型中，假設(shè)每個參與者都有一個策略來提供他們愿意交易的價格和數(shù)量。例如，知情交易者可能知道某項(xiàng)資產(chǎn)的每股收益在上升，并積極買入，直到新的市盈率與原來的相同。另一方面，做市商有一個策略來產(chǎn)生他們愿意在訂單中報價的價格和數(shù)量，而噪音交易者購買的是完全隨機(jī)的數(shù)量。在給定一組市場參與者策略的情況下，我們試圖找出是否存在市場均衡，如果存在，我們是否可以計(jì)算它。
一般來說，由于計(jì)算復(fù)雜性和統(tǒng)計(jì)原因，在多人游戲中計(jì)算精確的均衡是相當(dāng)困難的。然而，通過研究一個簡化的博弈，我們可以獲得足夠的直覺來設(shè)計(jì)一個可估計(jì)現(xiàn)實(shí)均衡的數(shù)值模擬。這正是Kyle (1985) 和Glosten以及Milgrom (1984)考慮的只有三個參與者的博弈游戲。
在這些博弈中，通常通過對做市商實(shí)施零利潤條件（一種無套利的弱形式）來實(shí)現(xiàn)均衡。零利潤條件有效地代表了做市商的“收支平衡”點(diǎn)，并且是所收取的費(fèi)用和知情交易者的信息優(yōu)勢的函數(shù)。
例如，如果知情交易者的信息優(yōu)勢較弱，那他們的交易看起來會像是“噪音”，而做市商則通過反復(fù)地跨越買/賣價差而賺錢，且價格看起來是弱均值回歸的。另一方面，如果知情交易員是無所不知的，并且總是提前知道未來的價格變動，那么做市商需要更大的費(fèi)用和更大的買賣差價以補(bǔ)償不利于他們的交易。
在這種情況下，我們說做市商受知情交易者逆向選擇的影響。實(shí)際上，做市商通過降低市場流動性來應(yīng)對逆向選擇的增加。Glosten（1994）指出，當(dāng)你考慮那些在多個市場上報價的做市商時，訂單簿的形狀會影響流動性如何因逆向選擇而變化。在下圖中，我們看到一個訂單簿有兩個不同的形狀，一個近似凹形和一種凸形。Glosten指出，對于流動性大、交易速度低的情況，凹形更好，而對于許多小訂單和高交易速度的情況，凸形更好。
而據(jù)伯克利大學(xué)的Jun Aoyogi在最近的研究表明，通過考慮LP和知情交易者之間的一個簡單的單周期博弈，可以為Uniswap找到與Kyle（1985）類似的結(jié)果。
他特別指出，只有在噪聲交易者與Uniswap進(jìn)行交易，并且費(fèi)用能正確補(bǔ)償噪聲交易者造成的波動，LP才可能賺錢。此外，他還說明了價格穩(wěn)定的結(jié)果（類似于我們在第一篇文章中介紹的內(nèi)容）。但是，這些結(jié)果在很大程度上取決于Uniswap恒定乘積公式的簡單函數(shù)形式。此外，這些結(jié)果未涵蓋補(bǔ)償逆向選擇所需的費(fèi)用的精確范圍。對于其他CFMM，我們能否以更一般的方式將費(fèi)用和逆向選擇聯(lián)系起來？
為此，我們在套利者、知情交易者和LP之間構(gòu)建了一個不同的博弈。我們首先將知情交易者定義為在時間t時，知道資產(chǎn)價格在時間t+1, p(t+1)時的概率? > ? 的參與者。
我們將知情交易者對p（t+1）的預(yù)測寫成p_inf（t）。我們可想象成這是一個知情交易者在拋出一枚硬幣，硬幣正面落地的概率為?，反面落地的概率為1-?。如果是正面的，交易者會正確選擇下一個價格。這個有洞察力的參與者在時間t與CFMM交易，在時間t+1時以概率?實(shí)現(xiàn)利潤。另一方面，如果知情交易者輸了，價格會恢復(fù)到時間t時的價值。示意圖如下所示：
注意，當(dāng)知情交易者虧損時，價格從p（t）變?yōu)?code>p_inf（t），再回到p（t）。在這種“往返”交易序列中，流動性提供者獲得的利潤是費(fèi)用和CFMM曲率的函數(shù)。這意味著我們可以查看流動性提供者的預(yù)期利潤，PNL(curvature, fees) = ? * Loss(curvature, fees) + (1-?) * Profit(curvature, fees)。我們使用此預(yù)期利潤條件查找當(dāng)PNL(curvature, fees) > 0時的充分條件，并發(fā)現(xiàn)對于某些常數(shù)C> 0
這意味著，如果知情交易者是無所不知的（?=1）或費(fèi)用為零，那么任何曲率都無法補(bǔ)償LP的損失。另一方面，如果知情交易者基本上是一個噪音交易者（?≈?），則曲率可以較低，以使LP獲利。
這一結(jié)果說明，與CFMM設(shè)計(jì)領(lǐng)域的常識不同，人們不僅需要獲得最佳費(fèi)用來最大化LP回報，而且還需要調(diào)整曲率。我們在現(xiàn)實(shí)情況中看到了許多這樣的例子，例如Dodo和McDEX這樣的保護(hù)性做市商加入了一個預(yù)言機(jī)，以響應(yīng)主要市場（例如Uniswap或Coinbase）的交易來調(diào)整曲率。在Shell協(xié)議中，費(fèi)用與曲率之間的關(guān)系是直接的，一旦穩(wěn)定幣儲備偏離目標(biāo)權(quán)重，則通過動態(tài)費(fèi)用函數(shù)將曲率引入交易函數(shù)中。
在下圖中，我們看到了這些協(xié)議如何根據(jù)交易活動調(diào)整其交易函數(shù)曲率的示意圖。這有效通過增加了對知情交易的反應(yīng)曲率，來減少逆向選擇。目前，大多數(shù)曲率調(diào)整都是外生的，這需要一個外部預(yù)言機(jī)來觸發(fā)曲線變化。
Dodo的協(xié)議根據(jù)中間價格預(yù)言機(jī)來調(diào)整曲率
此外，這也告訴我們，活躍且具有低曲率CFMM的市場（例如Curve）往往有較少的知情交易。這符合這樣一種直覺，即用一種穩(wěn)定幣兌換另一種穩(wěn)定幣的交易者，對未來價格的有用信息較少。
這告訴了我們該如何設(shè)計(jì)CFMM？首先，通過設(shè)計(jì)CFMM的交易函數(shù)，可使用預(yù)言機(jī)糾正曲率來進(jìn)行改進(jìn)。做市商可以有一個動態(tài)更新的交易函數(shù)，對交易作出反應(yīng)，以減少LP的無常損失。更新規(guī)則可以是純內(nèi)生的（與使用預(yù)言機(jī)的設(shè)計(jì)不同）和簡單的控制機(jī)制（類似于DeFi-PID控制器，請參閱我們之前撰寫的關(guān)于這一主題的文章）。類似的，CFMM曲率的梯度流（例如，類似于著名的Ricci流）可用于自然壓平由于高滑點(diǎn)而交易量較低的區(qū)域。
不幸的是，無法通過分析來設(shè)計(jì)此類CFMM。這需要通過模擬具有不同數(shù)量信息，以及與LP互動的策略的多個agent代理來設(shè)計(jì)這種形式的實(shí)用CFMM。此外，如果我們看到在高頻交易中經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)的復(fù)雜性，那么我們應(yīng)期望動態(tài)LP策略將成為未來的規(guī)范。這些策略對曲率和逆向選擇的影響，也需要通過基于agent的模型進(jìn)行建模。
我們要感謝James Prestwich 和Ciamac Moallemi提供的寶貴意見和建議。
本文為作者獨(dú)立觀點(diǎn)，不代表鳥哥筆記立場，未經(jīng)允許不得轉(zhuǎn)載。
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1)可能存在事實(shí)性錯誤或者造謠等內(nèi)容；
2)存在事實(shí)夸大、偽造虛假經(jīng)歷等誤導(dǎo)他人的內(nèi)容；
3)偽造身份、冒充他人，通過頭像、用戶名等個人信息暗示自己具有特定身份，或與特定機(jī)構(gòu)或個人存在關(guān)聯(lián)。
6. 傳播封建迷信，主要表現(xiàn)為：
1)找人算命、測字、占卜、解夢、化解厄運(yùn)、使用迷信方式治??；
2)求推薦算命看相大師；
3)針對具體風(fēng)水等問題進(jìn)行求助或咨詢；
4)問自己或他人的八字、六爻、星盤、手相、面相、五行缺失，包括通過占卜方法問婚姻、前程、運(yùn)勢，東西寵物丟了能不能找回、取名改名等；
7. 文章標(biāo)題黨，主要表現(xiàn)為：
1)以各種夸張、獵奇、不合常理的表現(xiàn)手法等行為來誘導(dǎo)用戶；
2)內(nèi)容與標(biāo)題之間存在嚴(yán)重不實(shí)或者原意扭曲；
3)使用夸張標(biāo)題，內(nèi)容與標(biāo)題嚴(yán)重不符的。
8.「飯圈」亂象行為，主要表現(xiàn)為：
1)誘導(dǎo)未成年人應(yīng)援集資、高額消費(fèi)、投票打榜
2)粉絲互撕謾罵、拉踩引戰(zhàn)、造謠攻擊、人肉搜索、侵犯隱私
3)鼓動「飯圈」粉絲攀比炫富、奢靡享樂等行為
4)以號召粉絲、雇用網(wǎng)絡(luò)水軍、「養(yǎng)號」形式刷量控評等行為
5)通過「蹭熱點(diǎn)」、制造話題等形式干擾輿論，影響傳播秩序
9. 其他危害行為或內(nèi)容，主要表現(xiàn)為：
1)可能引發(fā)未成年人模仿不安全行為和違反社會公德行為、誘導(dǎo)未成年人不良嗜好影響未成年人身心健康的；
2)不當(dāng)評述自然災(zāi)害、重大事故等災(zāi)難的；
3)美化、粉飾侵略戰(zhàn)爭行為的；
4)法律、行政法規(guī)禁止，或可能對網(wǎng)絡(luò)生態(tài)造成不良影響的其他內(nèi)容。
二、違規(guī)處罰
本網(wǎng)站通過主動發(fā)現(xiàn)和接受用戶舉報兩種方式收集違規(guī)行為信息。所有有意的降低內(nèi)容質(zhì)量、傷害平臺氛圍及欺凌未成年人或危害未成年人身心健康的行為都是不能容忍的。
當(dāng)一個用戶發(fā)布違規(guī)內(nèi)容時，本網(wǎng)站將依據(jù)相關(guān)用戶違規(guī)情節(jié)嚴(yán)重程度，對帳號進(jìn)行禁言 1 天、7 天、15 天直至永久禁言或封停賬號的處罰。當(dāng)涉及欺凌未成年人、危害未成年人身心健康、通過作弊手段注冊、使用帳號，或者濫用多個帳號發(fā)布違規(guī)內(nèi)容時，本網(wǎng)站將加重處罰。
三、申訴
隨著平臺管理經(jīng)驗(yàn)的不斷豐富，本網(wǎng)站出于維護(hù)本網(wǎng)站氛圍和秩序的目的，將不斷完善本公約。
如果本網(wǎng)站用戶對本網(wǎng)站基于本公約規(guī)定做出的處理有異議，可以通過「建議反饋」功能向本網(wǎng)站進(jìn)行反饋。
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