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聯(lián)系“鳥哥筆記小喬”
其實(shí)概率就是那么回事兒
2017-05-10 10:06:00

概率中通常將試驗(yàn)的結(jié)果稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量將每一個(gè)可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果賦予了一個(gè)數(shù)值,包含離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。

擲硬幣就是一個(gè)典型的離散型隨機(jī)變量,離散隨機(jī)變量可以取無限個(gè)但可數(shù)的數(shù)值。而連續(xù)變量相反,它在某一個(gè)區(qū)間內(nèi)能取任意的數(shù)值。時(shí)間就是一個(gè)典型的連續(xù)變量,1.25分鐘、1.251分鐘,1.2512分鐘,它能無限分割。

既然隨機(jī)變量可以取不同的值,統(tǒng)計(jì)學(xué)家就用概率分布描述隨機(jī)變量取不同值的概率。相對應(yīng)的,有離散型概率分布和連續(xù)型概率分布。

對于離散型隨機(jī)變量x,定義一個(gè)概率函數(shù)叫f(x),它給出了隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率。

拿出一個(gè)骰子,擲到6的概率是f(6) = 1/6,擲到1和6的概率則是f(1)+f(6) = 1/3。

數(shù)學(xué)期望和方差

現(xiàn)在有一個(gè)運(yùn)營活動(dòng),兩套抽獎(jiǎng)概率方案,如下:


作為運(yùn)營人員,應(yīng)該怎么衡量兩種抽獎(jiǎng)方法的好壞呢?

數(shù)學(xué)期望是對隨機(jī)變量中心位置的一種度量。是試驗(yàn)中每次可能結(jié)果的乘以其結(jié)果的總和。簡單說,它是概率中的平均值,可以用期望對比兩套方案。


假設(shè)一等獎(jiǎng)成本1000元,二等獎(jiǎng)成本500元,三等獎(jiǎng)成本100元,歡迎下次再來當(dāng)然沒錢,而用戶參加一次抽獎(jiǎng)需要5元。我們將概率問題轉(zhuǎn)換成運(yùn)營方的收益和成本計(jì)算期望(下面的盈虧是公司角度的)。


于是E(x) = (-990*5%)+(-490*10%)+(-90*20%)+(10*65%) = -110。也就是說,A方案能夠期望每次抽獎(jiǎng)運(yùn)營方虧損110元。計(jì)算一下B方案,則是虧損150元。如果從用戶的角度看,每一次抽獎(jiǎng)的期望則反過來,即一等獎(jiǎng)能受益990元,二等獎(jiǎng)能受益490元…A方案玩一次平均收益110元。

想必大家已經(jīng)知道了如何設(shè)計(jì)活動(dòng)的盈虧機(jī)制,感興趣可以自行調(diào)節(jié)中獎(jiǎng)概率和成本。

期望值衡量概率的平均值,可是抽獎(jiǎng)本來就是很激動(dòng)人心的事情,哪怕明知道會(huì)賠錢,人們還樂此不疲,為什么?因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn),因?yàn)橐孕〔蟆?/font>

方差就是這種風(fēng)險(xiǎn)的度量,即隨機(jī)變量的變異性。它和描述統(tǒng)計(jì)學(xué)的方差是一個(gè)含義。


方差越大,隨機(jī)變量的結(jié)果越不穩(wěn)定,計(jì)算A方案的方差如下:


方差最后為62600,說明期望的波動(dòng)很大。標(biāo)準(zhǔn)差為sqrt(62600) = 250.19,代表每一次的抽獎(jiǎng),與期望收益-110的距離是250.19元。

到這里,概率和期望方差的基本玩法已經(jīng)講完了。

二項(xiàng)概率分布

二項(xiàng)分布是一種離散型的概率分布。故明思義,二項(xiàng)代表它有兩種可能的結(jié)果,把一種稱為成功,另外一種稱為失敗。

除了結(jié)果的規(guī)定,它還需要滿足其他性質(zhì):每次試驗(yàn)成功的概率均是相同的,記錄為p;失敗的概率也相同,為1-p。每次試驗(yàn)必須相互獨(dú)立,該試驗(yàn)也叫做伯努利試驗(yàn),重復(fù)n次即二項(xiàng)概率。

擲硬幣就是一個(gè)典型的二項(xiàng)分布。當(dāng)我們要計(jì)算拋硬幣n次,恰巧有x次正面朝上的概率,可以使用二項(xiàng)分布的公式:


假設(shè)拋硬幣5次,恰巧有3次正面朝上,則其概率為31.25%??梢允褂肊xcel中的BINOM.DIST函數(shù)計(jì)算。

不妨把題目變化一下,變成計(jì)算硬幣至少有三次正面朝上的概率是多少?有一種簡單的方法是累加,將恰巧有3次,恰巧有4次,恰巧有5次的概率相加,結(jié)果便是至少3次,為50%。

回到運(yùn)營活動(dòng)的例子,上面一個(gè)運(yùn)營活動(dòng)公司虧慘了,現(xiàn)在運(yùn)營需要重新做一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng),每位用戶擁有10次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),中獎(jiǎng)概率是5%。老板準(zhǔn)備先考慮成本問題,想知道至少有3次以上中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)的概率是多少?

按照上題的思路,可以拿恰巧3次,恰巧4次直到恰巧10次累加求和,但是這樣太麻煩了。此時(shí)可以換一個(gè)思路,先計(jì)算最多2次的概率是多少。那么便是f(0)+f(1)+f(2),結(jié)果是92.98%,利用概率公式1-92.98%,就是至少3次的概率了,為7.02%??磥砝习暹€是能松口氣的。

二項(xiàng)概率的數(shù)學(xué)期望為E(x) = np,方差Var(x) = np(1-p)。抽獎(jiǎng)10次,那么抽獎(jiǎng)的期望值就是1,方差為0.9。

運(yùn)營學(xué)會(huì)二項(xiàng)分布,在涉及概率的各種活動(dòng)中,將變得游刃有余。它的原理甚至能用到AB測試。大學(xué)考試中二項(xiàng)概率需要查專門的概率表計(jì)算,不過現(xiàn)在各類工具層出不窮,Python、R、Excel都能直接計(jì)算。

泊松概率分布

泊松概率是另外一個(gè)常用的離散型隨機(jī)變量,它主要用于估計(jì)某事件在特定時(shí)間或空間中發(fā)生的次數(shù)。比如一天內(nèi)中獎(jiǎng)的個(gè)數(shù),一個(gè)月內(nèi)某機(jī)器損壞的次數(shù)等。

泊松概率的成立條件是在任意兩個(gè)長度相等的區(qū)間中,時(shí)間發(fā)生的概率是相同的,并且事件是否發(fā)生都是相互獨(dú)立的。

泊松概率既然表示事件在一個(gè)區(qū)間發(fā)生的次數(shù),這里的次數(shù)就不會(huì)有上限,x取值可以無限大,只是可能性無限接近0,f(x)的最終值很小。

x代表發(fā)生x次,u代表發(fā)生次數(shù)的數(shù)學(xué)期望,概率函數(shù)為:


現(xiàn)在又舉辦了一個(gè)新的運(yùn)營活動(dòng),這次的中獎(jiǎng)概率未知,只知24小時(shí)內(nèi)中獎(jiǎng)的平均個(gè)數(shù)為5個(gè),老板異想天開地想知道24小時(shí)內(nèi)恰巧中獎(jiǎng)次數(shù)為7的概率是多少?

此時(shí)x=7,u=5(區(qū)間內(nèi)發(fā)生的平均次數(shù)就是期望),代入公式求出概率為10.44%。Excel中的函數(shù)為POISSON.DIST。

接下來繼續(xù)加大問題難度,求中獎(jiǎng)次數(shù)至少7次的概率。此時(shí)f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=86.66%,那么至少七次的概率為13.33%。

如果問題變成12小時(shí)內(nèi)呢?老板希望知道12小時(shí)內(nèi)中獎(jiǎng)次數(shù)為3次的概率是多少?

24小時(shí)內(nèi)中獎(jiǎng)概率的期望數(shù)是5,那么12小時(shí)內(nèi)的中獎(jiǎng)概率期望數(shù)是2.5,于是令u=2.5,求出12小時(shí)內(nèi)中獎(jiǎng)次數(shù)為3的概率是79.99%。

泊松概率還有一個(gè)重要性質(zhì),它的數(shù)學(xué)期望和方差相等,所以上題的方差為2.5,標(biāo)準(zhǔn)差為根號2.5,即1.58。

正態(tài)分布

上述分布都是離散概率分布,當(dāng)隨機(jī)變量是連續(xù)型時(shí),情況就完全不一樣了。因?yàn)殡x散概率的本質(zhì)是求x取某個(gè)特定值的概率,而連續(xù)隨機(jī)變量不行,它的取值是可以無限分割的,它取某個(gè)值時(shí)概率近似于0。連續(xù)變量是隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率,此時(shí)的概率函數(shù)叫做概率密度函數(shù)。

正態(tài)概率分布是連續(xù)型隨機(jī)變量中最重要的分布。世界上絕大部分的分布都屬于正態(tài)分布,人的身高體重、考試成績、降雨量等都近似服從。

正態(tài)分布如同一條鐘形曲線。中間高,兩邊低,左右對稱。想象身高體重、考試成績,是否都呈現(xiàn)這一類分布態(tài)勢:大部分?jǐn)?shù)據(jù)集中在某處,小部分往兩端傾斜。


正態(tài)概率密度函數(shù)為:


是不是看得頭暈了?u代表均值,σ代表標(biāo)準(zhǔn)差,兩者不同的取值將會(huì)造成不同形狀的正態(tài)分布。均值表示正態(tài)分布的左右偏移,標(biāo)準(zhǔn)差決定曲線的寬度和平坦,標(biāo)準(zhǔn)差越大曲線越平坦。

以前介紹過一個(gè)正態(tài)分布的經(jīng)驗(yàn)法則:

正態(tài)隨機(jī)變量有69.3%的值在均值加減一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi),95.4%的值在兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi),99.7%的值在三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)。這條經(jīng)驗(yàn)法則可以幫助我們快速計(jì)算數(shù)據(jù)的大體分布。


均值u=0,標(biāo)準(zhǔn)差σ=1的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。它的隨機(jī)變量用z表示,它是推斷統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)。將均值和標(biāo)準(zhǔn)差代入正態(tài)概率密度函數(shù),得到一個(gè)簡化的公式:


現(xiàn)在可以用簡化的公式計(jì)算概率密度了。首先學(xué)習(xí)一個(gè)新的函數(shù)叫累計(jì)分布函數(shù),它是概率密度函數(shù)的積分。用P(X<=x)表示隨機(jī)變量小于或者等于某個(gè)數(shù)值的概率,F(xiàn)(x) = P(X<=x)。


曲線就是概率密度函數(shù),當(dāng)x取某個(gè)值時(shí),曲線上f(x)點(diǎn)的數(shù)值即表示隨機(jī)變量在對應(yīng)的x點(diǎn)值的取值概率,曲線與X軸相交的陰影面積就是累計(jì)分布函數(shù)。我們不妨把概率密度函數(shù)按其名字簡單理解成「密度」,畢竟連續(xù)變量只有在區(qū)間中才有計(jì)算的意義,于是密度函數(shù)充當(dāng)了輔助計(jì)算的角色。分析中我們更多實(shí)用累計(jì)分布函數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中,給定一個(gè)值z,可以計(jì)算隨機(jī)變量z小于等于某一個(gè)值的概率;z在兩個(gè)值之間的概率;以及z大于等于一個(gè)值的概率。這三種計(jì)算都用到累計(jì)分布函數(shù),分別記作P(z<=x),P(x1<=z<=x2),P(z>=x)。

首先計(jì)算z小于等于1的概率,即P(z<=1)。由excel 的函數(shù)NORM.DIST(1,0,1,TRUE)求得值為0.8413。于是P(z<=1)=0.8413。同理,P(z>1) = 1-P(z<=1) = 0.1586。

若要計(jì)算z在區(qū)間-1~1.25的概率,即P(-1<=z<=1.25)??梢詫⑵洳鸾鉃楣剑篜(-1<=z<=1.25) = P(z<=1.25) - P(z<=-1) = 0.735。

如果大家在公式轉(zhuǎn)換中有困惑,不妨結(jié)合上面的陰影圖看??孔蟮年幱凹磟小于等于0.8時(shí)(目測)的概率,如果我們要算0~0.8之間的概率呢?就是把z<=0的那一半給挖掉,非常粗暴的算法。

到了這里大家可能發(fā)覺,在正態(tài)分布的計(jì)算中,不論求哪一類區(qū)間,我們都是先轉(zhuǎn)換成z小于等于某個(gè)值先計(jì)算。這是一個(gè)潛移默化的規(guī)則,因?yàn)樵缙谡龖B(tài)概率的計(jì)算都要用到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率表,它以z小于等于作查詢標(biāo)準(zhǔn)?,F(xiàn)在雖然計(jì)算資源已經(jīng)大大豐富,但是這個(gè)習(xí)慣還是保留了下來。

之所以強(qiáng)調(diào)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,是因?yàn)樗械恼龖B(tài)分布概率都可以利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計(jì)算。當(dāng)我們具有一個(gè)任意均值的u和標(biāo)準(zhǔn)差σ,都能將其轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)分布。


現(xiàn)在有一個(gè)u=10和σ=2的正態(tài)隨機(jī)變量,求x在10與14之間的概率是多少?

當(dāng)x=10時(shí),z=(10-10)/2=2。當(dāng)x=14時(shí),z=(14-10)/2=2。于是x在10和14之間的概率等價(jià)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中0和2之間的概率。計(jì)算P(0<=z<=2) =P(z<=2) - P(z<=0) =0.4772。

現(xiàn)在是最后一個(gè)運(yùn)營活動(dòng)了,不再是抽獎(jiǎng),而是最終贈(zèng)送獎(jiǎng)品的環(huán)節(jié)。已知獎(jiǎng)品的保質(zhì)期滿足正態(tài)分布,均值90天,標(biāo)準(zhǔn)差5天。為了考慮用戶體驗(yàn),想知道獎(jiǎng)品70天以內(nèi)就壞的概率是多少?

當(dāng)x=70時(shí),有z=(70-90)/5 = -4。p(z<=-4)=0.003%。概率非常小,可以忽略不計(jì),所以產(chǎn)品質(zhì)量杠杠的。經(jīng)歷了那么多活動(dòng),老板終于可以松一口氣了。

在概率分布中還有一個(gè)概念叫正態(tài)近似。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),二項(xiàng)分布可以近似于正態(tài)分布,泊松分布也有相似的情況,大家有興趣可以去了解,這是一種簡便方法,不過工作中現(xiàn)在都是計(jì)算機(jī)了,這點(diǎn)反而不重要了。

了解完各類分布后,我們將進(jìn)入最后的環(huán)節(jié),假設(shè)檢驗(yàn),它是基于概率的理論,數(shù)據(jù)分析中的AB測試,就是其最常見的應(yīng)用。

作者:秦路
來源:秦路(ID:tracykanc)
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其實(shí)概率就是那么回事兒嗎?
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    2)存在事實(shí)夸大、偽造虛假經(jīng)歷等誤導(dǎo)他人的內(nèi)容;
    3)偽造身份、冒充他人,通過頭像、用戶名等個(gè)人信息暗示自己具有特定身份,或與特定機(jī)構(gòu)或個(gè)人存在關(guān)聯(lián)。


6. 傳播封建迷信,主要表現(xiàn)為:
    1)找人算命、測字、占卜、解夢、化解厄運(yùn)、使用迷信方式治??;
    2)求推薦算命看相大師;
    3)針對具體風(fēng)水等問題進(jìn)行求助或咨詢;
    4)問自己或他人的八字、六爻、星盤、手相、面相、五行缺失,包括通過占卜方法問婚姻、前程、運(yùn)勢,東西寵物丟了能不能找回、取名改名等;


7. 文章標(biāo)題黨,主要表現(xiàn)為:
    1)以各種夸張、獵奇、不合常理的表現(xiàn)手法等行為來誘導(dǎo)用戶;
    2)內(nèi)容與標(biāo)題之間存在嚴(yán)重不實(shí)或者原意扭曲;
    3)使用夸張標(biāo)題,內(nèi)容與標(biāo)題嚴(yán)重不符的。


8.「飯圈」亂象行為,主要表現(xiàn)為:
    1)誘導(dǎo)未成年人應(yīng)援集資、高額消費(fèi)、投票打榜
    2)粉絲互撕謾罵、拉踩引戰(zhàn)、造謠攻擊、人肉搜索、侵犯隱私
    3)鼓動(dòng)「飯圈」粉絲攀比炫富、奢靡享樂等行為
    4)以號召粉絲、雇用網(wǎng)絡(luò)水軍、「養(yǎng)號」形式刷量控評等行為
    5)通過「蹭熱點(diǎn)」、制造話題等形式干擾輿論,影響傳播秩序


9. 其他危害行為或內(nèi)容,主要表現(xiàn)為:
    1)可能引發(fā)未成年人模仿不安全行為和違反社會(huì)公德行為、誘導(dǎo)未成年人不良嗜好影響未成年人身心健康的;
    2)不當(dāng)評述自然災(zāi)害、重大事故等災(zāi)難的;
    3)美化、粉飾侵略戰(zhàn)爭行為的;
    4)法律、行政法規(guī)禁止,或可能對網(wǎng)絡(luò)生態(tài)造成不良影響的其他內(nèi)容。


二、違規(guī)處罰
本網(wǎng)站通過主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和接受用戶舉報(bào)兩種方式收集違規(guī)行為信息。所有有意的降低內(nèi)容質(zhì)量、傷害平臺(tái)氛圍及欺凌未成年人或危害未成年人身心健康的行為都是不能容忍的。
當(dāng)一個(gè)用戶發(fā)布違規(guī)內(nèi)容時(shí),本網(wǎng)站將依據(jù)相關(guān)用戶違規(guī)情節(jié)嚴(yán)重程度,對帳號進(jìn)行禁言 1 天、7 天、15 天直至永久禁言或封停賬號的處罰。當(dāng)涉及欺凌未成年人、危害未成年人身心健康、通過作弊手段注冊、使用帳號,或者濫用多個(gè)帳號發(fā)布違規(guī)內(nèi)容時(shí),本網(wǎng)站將加重處罰。


三、申訴
隨著平臺(tái)管理經(jīng)驗(yàn)的不斷豐富,本網(wǎng)站出于維護(hù)本網(wǎng)站氛圍和秩序的目的,將不斷完善本公約。
如果本網(wǎng)站用戶對本網(wǎng)站基于本公約規(guī)定做出的處理有異議,可以通過「建議反饋」功能向本網(wǎng)站進(jìn)行反饋。
(規(guī)則的最終解釋權(quán)歸屬本網(wǎng)站所有)

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