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注：

研究者認(rèn)為，即使Uniswap流動性提供者（LP）在每一筆套利者交易中都經(jīng)歷虧損，但在某些情況下，由于波動性收獲，他們?nèi)匀荒鼙葐渭兂謳诺谋憩F(xiàn)更好，在這種情況下，手續(xù)費設(shè)置應(yīng)盡量接近于零，而不應(yīng)為零，以盡可能多地進行再平衡。

原文作者是來自投資機構(gòu)Paradigm的研究人員Dave White、Martin Tassy、Charlie Noyes以及Dan Robinson，他們也是Uniswap的種子輪投資方。

在無情的套利下，Uniswap LP反而變得富有（來源）。

一、問題

10月14日，Charlie Noyes在Twitter上貼出了一個他與Dan Robinson一直在爭論的問題：

“對于任何Uniswap資產(chǎn)對，最佳的費用是多少？這種最優(yōu)的費用，能否擊敗一個未平衡的投資組合，實現(xiàn)去除無常損失，甚至超額增長？”

1、1 背景

自動化做市商（AMM）是一類去中心化交易所，它允許客戶在像USDC和ETH這樣的鏈上資產(chǎn)之間進行交易。而Uniswap是以太坊上最流行的AMM，與大多數(shù)資產(chǎn)管理系統(tǒng)一樣，Uniswap通過持有兩種資產(chǎn)的儲備來促進特定資產(chǎn)對之間的交易。它根據(jù)其儲備金的規(guī)模來確定它們之間的交易價格，從而使價格與更廣泛的市場保持一致。

任何愿意加入某一對資產(chǎn)池的人，我們稱他們?yōu)榱鲃有蕴峁┱撸蚝喎Q為LP，這些人會同時向兩個儲備資產(chǎn)貢獻資產(chǎn)，他們要承擔(dān)部分交易風(fēng)險，以換取部分手續(xù)費回報。

1、2 設(shè)置的問題

該資產(chǎn)池在穩(wěn)定幣與價格隨機變動的風(fēng)險資產(chǎn)之間提供流動性，我們還做出了一個特別殘酷的假設(shè)，即所有進入池子的交易都是知情的（套利交易僅在AMM的價格與正常交易價格之間出現(xiàn)偏移時才會發(fā)生）。

換言之，整個池子在每次交易后都會經(jīng)歷虧損。

1、3 傳統(tǒng)思維

乍一看，在這種情況下，成為Uniswap LP似乎是一個代價高昂的錯誤。

由于做市商要求買入的價格要低于賣出的價格，因此當(dāng)資產(chǎn)價格不動時，他們直接獲利，他們得到的買入和賣出量大致平衡。這些交易通常被稱為“不知情”交易，因為它們與短期價格走勢無關(guān)。

另一方面，做市商在價格下跌之前買入資產(chǎn)，或在價格上漲前賣出，都會虧損。因此，做市商最害怕的交易對手之一就是套利者，他們只有在價格發(fā)生變化時才會來交易，并將做市商拋在身后。套利者所執(zhí)行的每筆交易，對其而言都是純利潤，而對于做市商來說則是純虧損。

由于在我們的Uniswap問題設(shè)置中沒有不知情的交易（實際上，我們假設(shè)了每一筆交易都是套利交易），因此，LP顯然會經(jīng)歷非常大的損失。

1、4 挑戰(zhàn)

然而，Dan和Charlie 認(rèn)為這個故事并沒有到此為止。

他們懷疑，對于某些潛在的價格動態(tài)而言，成為Uniswap LP仍然是有意義的。

他們將這個問題拋給了數(shù)學(xué)金融領(lǐng)域的傳奇人物Steven Shreve，然后在Twitter上公布了這個問題，Martin Tassy和我獨立地提出了部分解決方案，然后合作將完全的解決方案擴展到通用情況。

在接下來的幾個星期里，我們四個人花了一些時間通過電報討論結(jié)果，尋找錯誤，建立我們的直覺，而這些討論正是這篇文章的基礎(chǔ)。

二、解決方案

如果一項資產(chǎn)的波動性相對于其平均回報率足夠高，那么隨著時間的推移，Uniswap上的LP將比囤幣者（HODLer）的表現(xiàn)更好，即使是在所有交易都是套利交易的情況下。

這是由于一種稱為“波動性收獲”的現(xiàn)象造成的：在某些條件下，通過周期性地對兩種資產(chǎn)進行再平衡，它們的表現(xiàn)有可能超過任何靜態(tài)投資組合。在這種情況下，“再平衡”是指進行交易，使每項資產(chǎn)中持有的總資產(chǎn)組合價值的比例返回到固定的配置，例如50/50。

因此，當(dāng)LP被套利時，他們基本上會向市場支付一筆費用，為他們重新平衡投資組合。在這個特定的數(shù)學(xué)環(huán)境中，當(dāng)這種再平衡是有益時，你就要盡可能多地這樣做。這意味著流動性提供者應(yīng)將其費用設(shè)置為盡可能低而不為零。

這對于Uniswap來說是個好消息，因為這意味著即使在套利交易占主導(dǎo)的情況下，仍然可以享受低廉的費用，這使Uniswap在鏈上訂單不斷增加并開始提供更小的價差時保持競爭力。

也就是說，值得重復(fù)的是，這些結(jié)果適用于非常特殊的程式化數(shù)學(xué)設(shè)置，其中涉及的假設(shè)與Black-Scholes期權(quán)定價模型非常相似。為了數(shù)學(xué)上的方便，我們還假設(shè)了一個不同于Uniswap生產(chǎn)中使用的費用結(jié)構(gòu)。

2、1 對照標(biāo)準(zhǔn)

我們通過比較它們的漸進式財富增長率來評估不同的策略，這些增長率衡量它們在長期內(nèi)復(fù)合（或損失）價值的速度。

這個數(shù)量是很重要的，因為隨著時間的推移，優(yōu)化它的策略比幾乎不確定的策略執(zhí)行得更好。

我們將所有策略與“未平衡投資組合”進行比較，后者的一半價值是穩(wěn)定幣，另一半則是風(fēng)險資產(chǎn)，在這之后再也不會改變。這也是衡量AMM中所謂的“無常損失”的社區(qū)標(biāo)準(zhǔn)。

不管發(fā)生什么，未平衡的投資組合總是持有相同數(shù)量的穩(wěn)定幣，這意味著，在最壞的情況下，當(dāng)風(fēng)險資產(chǎn)失去其全部價值時，未平衡的投資組合將幾乎完全由穩(wěn)定幣組成，因此從長期來看增長率將為零。

另一方面，如果風(fēng)險資產(chǎn)呈指數(shù)增長，它將很快成為未平衡投資組合的主導(dǎo)，因此其增長率與風(fēng)險資產(chǎn)相同。

值得注意的是，兩個投資組合可以共享相同的漸進式財富增長率，而在近距離表現(xiàn)上卻截然不同。例如，如果風(fēng)險資產(chǎn)的增長率為零，那么零費用的Uniswap的股份價值將始終低于未平衡的投資組合，但由于預(yù)計隨著時間的推移，兩者都不會復(fù)合增長或虧損，因此兩者的財富增長率都將為零。

2、2 波動性阻力（Volatility Drag）

50%損失/75%收益過程中的波動阻力（來源）。

要理解這些結(jié)果，首先要理解波動性阻力（volatility drag）的概念。假設(shè)我們的風(fēng)險資產(chǎn)，其價格每年要么下跌50%，要么上漲75%，并且兩者發(fā)生的概率相等。

在任何一年，如果我們投資該資產(chǎn)100美元，我們的期望值是（50+175）/2=112.5 美元。如果我們簡單地買入并持有，則我們的投資組合的預(yù)期價值將逐年增加12.5%，這似乎是個不錯的交易。

不幸的是，在現(xiàn)實世界中，我們的利潤不會實現(xiàn)。如果我們購買并持有這種證券，我們最終將失去一切。

這是因為，隨著時間的推移，財富的復(fù)合會帶來災(zāi)難性的損失。

如果我們一年損失50%，然后下一年增長75%，那我們最后擁有的只有投入時的87.5%（即50% * 175%）。

隨著時間的推移，大數(shù)定律會保證我們的收益為每年 -15%，那我們將不可避免地破產(chǎn)。

2、3 等等，發(fā)生了什么？

如果你受過從期望值的角度分析**的訓(xùn)練，那么前一節(jié)很有可能看起來非常奇怪，甚至可能完全不正確。

實際上，一個多星期前，我們有了這個問題的完整的、閉合式的數(shù)學(xué)解，在此之前我完全不知道它在直覺上意味著什么。

究其根源在于：期望值是一個理論量，它衡量了如果我們在無數(shù)平行宇宙中同時復(fù)制給定的博弈，將會發(fā)生什么。

但現(xiàn)實并非如此，每次博弈我們只有一次機會，而我們所進行的博弈的效果不是瞬間的，而是隨著時間的推移而復(fù)合的。

我們可以從另一個角度來看待它，以幫助調(diào)和數(shù)學(xué)。隨著我們不斷重復(fù)（-50%/ + 75%）博弈，每次都將資金再投資，只有極少數(shù)的路徑是正確的，從而產(chǎn)生了天文數(shù)字的回報。

隨著時間的推移，這些路徑在所有可能的路徑中所占的比例越來越小，而我們真正看到其中一條路徑實現(xiàn)的機會也會縮小到零。

2、4 再平衡的價值

面對波動性阻力，即使在預(yù)期值為正的情況下，也要將部分資金儲備起來。這樣，當(dāng)事情出了問題時，你的損失就會減少，從長遠(yuǎn)來看，這會增加你的復(fù)合財富。

就交易而言，所有這些都會產(chǎn)生一些相當(dāng)熟悉的概念。當(dāng)價格上漲時，有時平倉部分頭寸以鎖定利潤，以防價格再次下跌。當(dāng)價格下跌時，有時，為了以一個有利的價格獲得預(yù)期的未來回報，抄底是有意義的。

在某些情況下，比如這一次，最佳策略是不斷地重新平衡你的投資組合，這樣你在每一個頭寸上總是有固定比例的財富投資，比如說，一半穩(wěn)定幣，一半風(fēng)險資產(chǎn)。這并不總是最佳的平衡，一般來說，你希望投資組合中的風(fēng)險資產(chǎn)越多，其回報率相對于其波動性越高，但我們將進一步的探索推遲到未來的工作。

對長期財富增長進行再平衡的好處可能是巨大的，可能意味著指數(shù)級財富增長和破產(chǎn)之間的區(qū)別。即使在我們設(shè)置的背景下，每一筆再平衡交易的價格都很不利，并造成瞬時損失，這也是事實。

2、5 資源

很有可能你對這些解釋感到不滿意，并想了解更多。

你可以先回顧一下凱利公式，這是一個基于這些原則的理論上最優(yōu)的投注策略。@wpoundstone的《財富公式》是一本備受推崇且易于閱讀的關(guān)于凱利公式歷史和含義的書籍。

另一方面，對于財富增長數(shù)學(xué)的深入研究，我強烈推薦@ole_b_peters的遍歷性經(jīng)濟學(xué)課堂講稿或他在《自然》雜志上發(fā)表的文章。

如果你選擇要自己研究，那你一定要小心，這是一個鮮為人知的領(lǐng)域，在我自己的研究過程中，我發(fā)現(xiàn)很多資料來源都有錯誤，這使我的理解倒退了數(shù)小時或數(shù)天。

特別是，如果你看到有人呼吁均值回歸或?qū)?shù)效用函數(shù)，我建議你不要停留，繼續(xù)前進。這一領(lǐng)域的關(guān)鍵結(jié)果不需要假設(shè)任何特定的收益分布或效用函數(shù)。

2、6 費用煉金術(shù)

在這種設(shè)置下，什么時候成為LP是有益的，LP應(yīng)盡可能經(jīng)常地重新平衡，以最小的成本促進再平衡？

（收費應(yīng)盡可能低，而不應(yīng)該為零，以便通過日益微小的價格變動觸發(fā)再平衡。Dan Robinson 稱之為“在量子泡沫中撿拾便士”。）

然而，當(dāng)費用完全為零時，再平衡的所有好處都會消失，而且在大多數(shù)情況下，LP的境況比他們僅僅持有未平衡投資組合的情況更糟糕。

理解這一看似反常的現(xiàn)象，有助于揭示問題的其余部分。

Uniswap使用“恒定乘積”不變量，這意味著在不收取費用的情況下，每筆交易都必須保持儲備金余額的乘積不變。我們將此表述為，盡管已熟悉Uniswap的讀者可能更習(xí)慣于將其寫成 x*y = k。

然而，事實證明，為了實現(xiàn)再平衡，這種乘積C的數(shù)字必須增加，以便為我們提供超額的財富增長。

為什么C是如此重要的？我們說 是我們的儲備金余額Ra和Rb的幾何平均數(shù)。與算術(shù)平均數(shù)一樣，幾何平均數(shù)隨著儲備量的增加而增加。然而，與算術(shù)平均數(shù)不同的是，幾何平均數(shù)隨著儲備量的失衡而縮小，即使它們的算術(shù)平均數(shù)保持不變。

在不收取任何費用的情況下，C是恒定不變的，因此交易總是導(dǎo)致更大的儲備或更平衡的儲備。這兩者從來不會同時存在，因此，財富增長沒有動力。

然而，在現(xiàn)實世界的Uniswap，或我們設(shè)置的環(huán)境中，非零費用保證了每次交易C都會增加。隨著時間的推移，這意味著儲備金不僅在增長，而且還保持平衡，這提供了上面討論過的好處。

要了解這是如何計算的精確數(shù)學(xué)，請參閱Martin和我的證明論文的3.1部分。

三、數(shù)學(xué)

說了這么多，我們現(xiàn)在可以準(zhǔn)確地回答Charlie最初問題陳述中提出的問題。

重申一下，他們關(guān)注的是Uniswap風(fēng)格AMM的財富增長率G，其中百分比費率影響穩(wěn)定幣和波動資產(chǎn)（以幾何布朗運動波動，并帶有參數(shù) 漂移和波動性）之間的市場。

3、1 LP財富增長率

3、2 最優(yōu)費用和超額回報

當(dāng)且僅在以下情況下時，作為一名LP持有一半穩(wěn)定幣和一半風(fēng)險資產(chǎn)的收益，要超過單純持幣：

在這種情況下，LP應(yīng)將他們的費用設(shè)置為盡可能低但不為零，他們將實現(xiàn)財富增長率逐漸接近

3、3 解釋

由于幾何布朗運動模擬復(fù)合增長，它們也受到波動性阻力的影響，其在數(shù)學(xué)上表示為，財富增長率為：

這意味著，在范圍內(nèi)，成為Uniswap的LP，要比的HODL增長率更有意義。

這給了我們一個觀察結(jié)果的視角：再平衡使我們能夠部分抵消基礎(chǔ)資產(chǎn)的波動性阻力。如果沒有波動性阻力，平均回報也為零或負(fù)，那么再平衡的數(shù)量也將無濟于事。盡管重新平衡后的投資組合仍會比僅僅持有資產(chǎn)本身做得更好，我們最好還是只持有穩(wěn)定幣。

另一方面，如果沒有波動性阻力的平均收益為正：

1. 如果波動性阻力使資產(chǎn)損失超過其平均對數(shù)回報的200%，那么在Uniswap上進行再平衡將無法消除足夠多的阻力，那你最好還是持有穩(wěn)定幣。

2. 如果波動性阻力使資產(chǎn)損失低于其平均對數(shù)回報的66%，那么在Uniswap上進行再平衡是不值得的，你最好還是簡單地持有資產(chǎn)。

3. 在這個范圍內(nèi)，成為Uniswap LP最終會讓你變得富有，事實上，要比你持有任何穩(wěn)定幣和波動資產(chǎn)組成的未平衡投資組合更富有。這既包括一些最終將變得一文不值的資產(chǎn)，也包括一些將呈現(xiàn)拋物線增長的資產(chǎn)。

3、4 證明

關(guān)于完整證明的預(yù)印本論文你可以在這里找到。它的工作原理是為離散隨機游走建立動力學(xué)模型，然后在將步長縮小到零時采取行為限制。

你也可以查看我為零對數(shù)漂移情況的原始證明，并在此處進行一些問題模擬。

3、5 我們應(yīng)該對這些研究結(jié)果給予多少信任？

在我個人看來，這是非?？尚诺?。

我們有兩種獨立的證明方法，而它們在域重疊時會產(chǎn)生相同的結(jié)果。我們還有一些模擬可以驗證我們的預(yù)測：

模擬與預(yù)測的財富增長率（來源）。

盡管如此，這仍然是一個非常令人困惑的領(lǐng)域，在過去的幾周中，我對它的理解已經(jīng)發(fā)生了許多次變化。如果你確實發(fā)現(xiàn)了錯誤，請隨時與我們聯(lián)系。

四、 未來的工作

盡管我們希望你同意這些研究結(jié)果在理論上是有趣的（或者是令人發(fā)瘋的），但仍有大量的工作要做，以確定它們與現(xiàn)實世界的相關(guān)性。

例如，我們的許多假設(shè)可以修改或擴展：

1. 如何將這些結(jié)果轉(zhuǎn)化為多資產(chǎn)案例，或者什么時候LP可以選擇像Balancer那樣的50/50以外的比例來重新平衡？

2. 當(dāng)我們不再允許每單位時間進行無限交易時會發(fā)生什么？

3. 當(dāng)我們引入交易成本，而其甚至可以變化以反映優(yōu)先gas拍賣動態(tài)時，會如何呢？

還有一些實證問題：

1. 我們能為今天市場上的證券類交易估計這些參數(shù)嗎？

2. 有多少積極交易的代幣，可以從我們描述的這種再平衡策略中受益？

3. 我們能否確定由于波動性收益而在現(xiàn)實中實現(xiàn)Uniswap LP回報的比例是多少？

最后，也許是最有趣的是。我們?nèi)绾尾拍軐⒃诖藢W(xué)到的知識用于改進現(xiàn)有協(xié)議，是創(chuàng)建一個新的協(xié)議，還是作為一個整體來發(fā)展DeFi生態(tài)系統(tǒng)？