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寫在前面：自上線以來，Uniswap V3在短短的幾個月里便已躍居去中心化交易所（DEX）交易量的榜首位置，而據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，目前多數(shù)Uniswap V3 LP仍使用了簡單、被動的流動性頭寸，這表明Uniswap V3擁有巨大的潛力尚未被挖掘出來。而來自哈佛大學的4位研究者，Michael Neuder，Rithvik Rao，Daniel J. Moroz以及David C. Parkes則撰寫論文探討了Uniswap v3的流動性供應(yīng)策略，他們得出結(jié)論稱，在風險中性和低風險情況下，比例重置分配策略幾乎是最佳的，而在高風險情況或?qū)τ陲L險極度厭惡的流動性提供者而言，最優(yōu)的方案就是均勻重置分配。

概述

Uniswap是當前最大的去中心化數(shù)字資產(chǎn)交易所，而其最新的版本Uniswap v3允許流動性提供者（LP）將流動性分配到一個或多個資產(chǎn)價格區(qū)間，而不是整個價格范圍。當資產(chǎn)市場價保持在該區(qū)間內(nèi)時，流動性提供者（LP）獲得的獎勵與分配的流動性數(shù)量成正比。

這引發(fā)了流動性提供策略的問題：當價格保持在區(qū)間內(nèi)時，較小的間隔會導致流動性更集中，相應(yīng)的回報也更大，但風險會更高。我們將這個問題形式化并研究了流動性提供者（LP）的三類策略：（1）均勻分配、（2）比例分配以及（3）最優(yōu)（通過約束優(yōu)化問題）分配。

我們展示了基于以太坊歷史價格數(shù)據(jù)的實驗結(jié)果，這表明簡單的流動性提供策略可產(chǎn)生接近最優(yōu)的效用，在低風險的情況下，它要比Uniswap v2流動性供給收益高出200多倍。

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簡介

去中心化金融（DeFi）是加密貨幣和區(qū)塊鏈生態(tài)系統(tǒng)中一個龐大且快速增長的領(lǐng)域，其旨在使用在區(qū)塊鏈（通常是以太坊）上執(zhí)行的智能合約復制傳統(tǒng)金融中介和工具并進行金融創(chuàng)新。

從2020年5月到2021年5月，進入DeFi協(xié)議的TVL（總鎖定價值）已從8億美元快速增長到800億美元[15]。

作為DeFi子領(lǐng)域的去中心化交易所（DEX），允許用戶在沒有可信中介的情況下交換不同類型的代幣。而目前多數(shù)的去中心化交易所（包括 Uniswap）都屬于恒定函數(shù)做市商 (CFMM) 類別。CFMM 不像傳統(tǒng)交易所那樣使用訂單簿，而是使用自動做市商 (AMM) 來確定資產(chǎn)的價格。

在 Uniswap v2 中，代幣對可使用包含兩種代幣的流動性池相互交換。允許的交易由儲備曲線?*? = ?決定，其中? 和 ? 表示流動性池中每種類型的代幣數(shù)量，而 ? 在交易中保持不變。流動性提供者（LP）將代幣添加到流動性池中供交易者交換，并通過交易者支付的費用獲得獎勵。圖 1（藍色）顯示了Uniswap v2 的儲備曲線，為了用一定數(shù)量的代幣 ? 換取一定數(shù)量的代幣 ?，交易者必須保持儲備的乘積不變，即 (? ? Δ?) (? + Δ?) = ? .

圖 1：Uniswap v2 和 v3 的儲備曲線。在價格區(qū)間 [??, ?? ] 上提供 v3 集中流動性導致 Uniswap v2 曲線 ?*? = ? 分別在 ? 和 ? 處截取軸。通過在 v3 儲備曲線（方程 1）中將 ? 和 ? 設(shè)置為零來計算截距。

該儲備曲線還以代幣 ? 為單位定義了代幣 ? 的有效價格，即 ?? (?, ?) = ???/?? [12]。在 Uniswap v2 的 ?*? = ? 曲線的環(huán)境中，我們有

然后，我們將AMM和流動性池對應(yīng)的“價格”取為?的價格，即??（?，?），我們讓?代幣相對于?代幣具有波動性。在Uniswap v2中，當交易者使用流動性進行swap交易時，流動性提供者就會獲得獎勵，每次產(chǎn)生 0.3% 的固定費用 [2]。每個流動性提供者在可能價格的整個區(qū)間 (0, ∞) 上提供流動性，并根據(jù)其占池中總流動性的比例獲得獎勵。

2021年5月3日，Uniswap的新協(xié)議Uniswap v3[3]上線了以太坊主網(wǎng)。Uniswap v3對Uniswap v2的主要更新便是增加了集中流動性[3]。在三周內(nèi)，這個新協(xié)議累積超過 12 億美元的 TVL，日均交易量達到 16 億美元 [17]。在 Uniswap v3 中，流動性提供者（LP）可以向任意數(shù)量的價格區(qū)間（稱為頭寸）提供流動性。

當價格保持在該區(qū)間時，分配給頭寸[??, ??] 的流動性會從費用中獲得獎勵。如果多個流動性提供者（LP）在包含正確價格的間隔內(nèi)分配了流動性，則每個LP將按其在該價格范圍上擁有的流動性比例獲得獎勵。圖 1（紅色）展示了 Uniswap v2 的恒定乘積曲線如何移動以截取 ? 和 ? 處的軸，這兩個軸由頭寸價格區(qū)間的上限和下限決定。這個變動曲線 [3] 由下面這個公式給出：

而截距 ? 和 ? 可通過讓 ? 或 ? 分別為零來計算。

通過這種方式，Uniswap v3 支持了關(guān)于流動性分配的多種策略，而每種策略都存在著不同的權(quán)衡。此外，重新分配流動性是有成本的，這涉及到了區(qū)塊交易，因此會產(chǎn)生 gas 費用，因此這一成本必須被納入流動性提供者的策略中。

本文的貢獻如下：

(1) 將流動性提供問題和一系列流動性提供策略形式化，我們稱之為“重置流動性提供策略”（reset-LP 策略）；

（2）為流動性提供者提供三類重置 LP 策略，我們稱之為均勻分配（uniform）, 比例分配（proportional）以及最優(yōu)分配（optimal）；

（3）解析計算重置LP策略的預期效用；

（4）根據(jù)以太坊歷史價格求解最優(yōu)重置LP策略；

（5）證明比例分配對于風險偏向LP提供者是最優(yōu)的，而均勻分配對于風險規(guī)避LP提供者是最優(yōu)的；

（6）對最優(yōu)重置LP策略進行回測，以證明在適當?shù)臈l件下，采用該策略的LP提供者將獲得比遵循v2策略高200倍的投資回報。

1、1 目錄

第2節(jié)介紹了Uniswap v3協(xié)議，并介紹了流動性供應(yīng)策略的概念。我們主要關(guān)注的是稱為“?-reset”的重置策略類。第三節(jié)介紹了馬爾可夫模型，用于分析這類策略的預期效用。第4節(jié)介紹了三種具體的流動性提供策略，包括最優(yōu)的“?-reset ”重置策略。

第5節(jié)介紹了基于以太坊歷史價格數(shù)據(jù)的實證結(jié)果。第6節(jié)提出了有待進一步研究的問題，并進行總結(jié)。

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關(guān)于Uniswap v3

Uniswap v3向AMM引入了集中流動性的概念，流動性提供者（LP）現(xiàn)在可以為提供流動性的資產(chǎn)之一指定一個或多個價格區(qū)間，而不是在 (0, ∞) 的整個價格范圍內(nèi)提供流動性。當指定資產(chǎn)的價格在這些間隔之一內(nèi)（并且只在這個時間間隔內(nèi)）時，流動性提供者才能賺取到交易費用。此外，如果多個流動性提供者（LP）將流動性分配到相同的價格，則他們每個人將按其擁有的該價格范圍的總流動性比例獲得獎勵。

通過選擇更集中的區(qū)間，當價格保持在該區(qū)間內(nèi)時，流動性提供者（LP）可以增加他們的回報，但這也會增加回報的差額。為了將其形式化，我們建立了一組離散的價格 bin區(qū)間模型，流動性提供者（LP）選擇在每個bin區(qū)間中放置多少流動性以及何時重新分配流動性。

定義2.1 （Bin）。我們定義了一組bin ? = {?1, ?2, . . . , ??, . . .},其中每個bin ??對應(yīng)價格區(qū)間[?? , ??), 它們形成 [0, ∞) 的分區(qū)間，其中?1 = 0 以及 ?? = ??+1 ?, ∈ {1, 2 . . }。Bin ?? 對應(yīng)區(qū)間 [?? , ??)。Bin ??表示包含資產(chǎn)當前價格的 bin區(qū)間。

對于這項工作的其余部分，我們是以一種資產(chǎn)的單位衡量代幣對的另一種資產(chǎn)。例如，USDC/ETH 這個池子，我們以穩(wěn)定的 USDC 單位衡量 ETH 的波動價格?？紤]時間 ? = ? 并讓 ?? 表示包含波動資產(chǎn)當前價格的 bin區(qū)間。在時間 ? = ? 的流動性提供策略，提供了一種方法來確定流動性提供者（LP）分配給每個bin區(qū)間的流動性比例。

我們做出了以下假設(shè)：

（1）穩(wěn)定價格分布 —— 我們假設(shè)下一價格分布，描述價格相對于當前價格的百分比變化在時間上是恒定的。我們使用以太坊10分鐘的歷史價格數(shù)據(jù)進行了實證驗證，我們發(fā)現(xiàn)以下概率分布對之間的相關(guān)系數(shù)為 ?^2 = 0.98 （i）高于 300 美元的 ETH 價格與低于 300 美元的 ETH 價格 （ii）2018 年 4 月至 2019 年 4 月的 ETH 價格與 2019 年 4 月至 2020 年 4 月的 ETH 價格。

(2)重新分配流動性的固定成本——我們假設(shè)重新分配流動性的成本是固定的（固定為 1），其他值相對于該成本進行標準化。例如，如果流動性提供者分配 ? = 100 單位的流動性，這被解釋為重新分配流動性的成本的 100 倍。

（3）定期更新——我們假設(shè)流動性提供者（LP）的流動性分配會定期更新，任何重新分配都會立即生效。此外，我們將周期長度取為足夠長（至少 10 分鐘），網(wǎng)絡(luò)傳輸延遲不是這篇論文要關(guān)注的重點。

（4）單一策略提供者——我們假設(shè)了一個單一的流動性策略提供者，并隱含地將其余提供者建模為在整個價格范圍內(nèi)分配流動性，即遵循Uniswap v2 流動性提供方法（譯者評論：實際Uniswap v3環(huán)境中存在大量不同策略的LP頭寸，因此論文給出的最優(yōu)策略結(jié)果不具參考意義）。

2、1 流動性提供策略

在描述流動性提供策略問題時，我們首先定義時間指數(shù)?處價格??的隨機過程{??：?∈N}。我們對穩(wěn)定的下一個價格分布進行建模，描述了價格相對于當前價格的變化隨時間的推移是恒定的，并且對當前價格也是不變的。

為此，我們相對于當前價格重新索引價格bin區(qū)間。讓?? 表示當前價格bin區(qū)間，并將其相對索引為?(0)。讓 ?(??) 和 ?(?) 分別表示左側(cè)和右側(cè)?? 的第K個bin區(qū)間。對于集合?? = {??max, ??max + 1, . . . , 0, . . . , ?max}，其中?max是最大可能的下一價格變動。根據(jù)假設(shè) 1，我們可以寫出下面這個公式：

其中 ?(?) 是向左或向右移動k個bin區(qū)間的概率 。

鑒于此，我們現(xiàn)在可以定義一個簡單的流動性提供類別策略。

定義 2.2。重置流動性提供策略（reset-LP 策略）包括：

（1）重置時包含價格的bin區(qū)間，?? = ?(0)

（2）分配 ?(?) ∈ [0, 1]，指定分配給 ?? 中每個 bin區(qū)間?(?)的流動性比例。

（3）一個重置條件，它指定了 ? 中導致策略重置的 bin區(qū)間子集。重置后，分配規(guī)則 ? 用于重新分配流動性，以新價格 ?? 為中心。

特別令人感興趣的是?-reset重置策略家族。

定義 2.3。?-reset 策略是一種 重置LP策略，其中定義了重置條件，以便僅當價格超出集合 ?? = {?(??? ) , · · · , ?(0), · · · ?(?? )} 的 2?? + 1 個連續(xù) bin區(qū)間時才進行重置。

有時我們也使用 ? 來表示被?? 覆蓋的下一價格分布的概率質(zhì)量。例如，如果 ? = 0.50，那么 ??被選為最小的數(shù)字，使得集合 ?? 包含至少 50% 的下一價格概率質(zhì)量。

我們有時也寫 ?? 來表示對應(yīng)于這組 bin區(qū)間的一組相對索引，即 ?? = {??? , · · · , 0, · · · ?? }。從上下文中可以清楚地了解用法。

為了說明，請考慮以下策略。

示例 1（固定策略）——“始終在價格區(qū)間 [$30, $50] 內(nèi)提供流動性?！?/p>

示例 2（均勻 ?-reset 策略）——“在以當前價格 ?? 為中心的一系列bin區(qū)間上均勻分配流動性。當價格超出此范圍時進行重置?！?/p>

示例 3（比例 ?-reset 策略1）——“讓 ? = 0.5，所以 ?? 包含下一個價格分布概率質(zhì)量的中間 50%。根據(jù) ?? 中每個 bin 區(qū)間的概率按比例分配流動性。根據(jù)??進行重置?！?/p>

示例 4 （比例?-reset 策略2）——“讓? = 0.5，所以 ?? 包含下一個價格分布概率質(zhì)量的中間 50%。根據(jù)下一價格分布的概率質(zhì)量的中間 90% 中每個bin區(qū)間的概率，按比例分配流動性。根據(jù)??進行重置。”

均勻的?-reset 策略如圖 2 所示。

圖2:均勻的?-reset策略，這里定義了三個以當前價格為中心的連續(xù) bin區(qū)間。每個圓圈代表一個價格區(qū)間，暗色圓圈表示每個時間step的當前價格。一旦價格離開這三個連續(xù)的bin區(qū)間，策略會“重置”并在重置時將流動性重新分配到當前價格附近。

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馬爾科夫模型分析

略，有興趣的讀者可以看原文。https://arxiv.org/pdf/2106.12033.pdf

4

流動性提供策略

我們現(xiàn)在提出三個 ?-reset 重置策略。

4、1 比例分配策略

在這個策略中，流動性提供者（LP）根據(jù)到達某個 ? bin區(qū)間的概率按比例分配流動性。

定義 4.1。這個比例策略是帶有以下條件的一種?-reset 重置策略：

（1）重置策略時的價格bin區(qū)間為?? ；

（2）最小的一組連續(xù)bin區(qū)間?? ，以 ?? 為中心，至少占下一個價格分布概率質(zhì)量的 ? ；

（3）以 ?? 為中心的最小連續(xù) bin 區(qū)間集合??，它至少占下一個價格分布的概率質(zhì)量的 ? ；

（4）分配函數(shù)

?(?) ∝ ?(?), for ? ∈ ??, (14)

圖 3 顯示了比例分配策略的一個示例（在 ? > ? 的情況下）。如果 ? < ?，則? bin區(qū)間的集合將大于? bin的區(qū)間集合。

圖 3：比例 ? 重置策略的示例，其中 ? > ?。條形的高度表示每個bin區(qū)間中的流動性數(shù)量。當策略最后一次重置時，價格為 ?? ，下一個價格概率分布以藍色顯示。圖示了“alpha”和“tau”bin區(qū)間，在這種情況下，中間的五個 bin區(qū)間 是 ?? 和 ?? 的一部分。

4、2 均勻分配策略

在這個策略中，流動性提供者（LP）在一組? bin區(qū)間上均勻地分配流動性。

定義 4.2。均勻分配策略是一種具有以下條件的?-reset重置策略：

（1）重置策略時的價格bin區(qū)間為??。

（2）一組連續(xù)的 bin區(qū)間，?? ? ?；

（3）一組連續(xù)的 bin區(qū)間，?? ? ?；

（4）分配函數(shù)

?(?) = 1/(2?? + 1), for ? ∈ ??, （15）

其中 ?? 是 ?? 中的 bin區(qū)間數(shù)量。

4、3 最優(yōu)流動性策略

在這個策略中，流動性提供者（LP）針對一組指定的連續(xù)bin區(qū)間??在一組? bin區(qū)間上最優(yōu)地分配流動性（在?-reset重置策略中）。

定義 4.3。最優(yōu)流動性策略定義為：

(1) 重置策略時的價格bin區(qū)間為??；

（2）一組連續(xù)的 bin區(qū)間，?? ? ?；

（3）一組連續(xù)的 bin區(qū)間，?? ? ?；

（4）分配函數(shù)?，這是流動性優(yōu)化問題的解，定義為

約束指定 (i) 所有流動性都已分配，并且 (ii) 分配給每個bin區(qū)間的流動性是非負的。

如果存在一個內(nèi)部解，則該優(yōu)化問題可通過拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）得到標準解。然后用下面這個公式來表征該方案：

對于所有 ?, ? ∈ ?? ，以及約束

以及

?(?) ≥ 0 for ? ∈ ?? .

在實踐中，我們使用SLSQP方法 [9] 來解決這個約束優(yōu)化問題。

5

根據(jù)歷史價格衡量策略表現(xiàn)

為了研究上面描述的流動性提供策略，我們使用了ETH在2018年3月-2020年4月份的價格數(shù)據(jù)（一共10萬次觀察數(shù)據(jù)），并以此模擬不同流動性配置策略的回報。

圖4 比較了針對不同風險偏好的最優(yōu)、比例以及均勻的?-reset重置策略的表現(xiàn)。在每種情況下，我們將 ?? 定義為最小值，使得 ?? 包含至少 50% 的下一價格分布的概率質(zhì)量。

在風險中性（? = 0）和低風險情況（例如，? = 0.1）下，比例分配策略幾乎是最佳的，分別為 ? = 0.14 和 ? = 0.74。在高風險情況（例如，? = 10）下，均勻分配策略接近最優(yōu)，而對于極度厭惡風險的流動性提供者（例如，? = 15）而言，最優(yōu)的方案就是完全均勻分配。

對于風險中立的代理人(? = 0），他們更喜歡較小的?，因為他們愿意更頻繁地更新他們的配置。而對于風險規(guī)避程度更高的流動性提供者（例如，? = 3），他們更喜歡更大的 ?和由此產(chǎn)生的更多 bin區(qū)間來分散他們的流動性，以減少他們收到的獎勵的差異。

圖4：不同風險偏好(?值)的最優(yōu)、最佳比例及均勻分配策略的預期效用。在風險厭惡程度較低的情況下（例如，? = 0, 0.1以及1），比例分配策略的表現(xiàn)明顯優(yōu)于均勻分配。而在較高的風險規(guī)避水平下（例如 ? = 10或15），均勻分配是最優(yōu)的策略。

5、1 與Uniswap v2的對比

此外，我們還可以通過歷史價格數(shù)據(jù)，將以上的Uniswap v3流動性分配策略與Uniswap v2進行一個對比。

回想一下，在 Uniswap v2 中，流動性提供者（LP）是無法指定他們想要提供的流動性價格區(qū)間。

圖5：使用歷史以太坊價格數(shù)據(jù)回測 ? = 0.5 的最佳 ?-reset重置策略。紅線表示每個時間步的 ? bin 區(qū)間的寬度，藍線表示 ? bin 區(qū)間的寬度。與在價格區(qū)間范圍內(nèi)均勻提供流動性（Uniswap v2 分配）相比，通過這種最優(yōu)分配策略，LP獲得的效用平均提高 230 倍。

對于能規(guī)避風險的流動性提供者（? = 0.1）而言，最優(yōu)??reset重置流動性提供策略要比Uniswap v2 策略的效用高 230倍。

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結(jié)論

本文探討了 Uniswap v3 協(xié)議帶來的流動性供應(yīng)策略問題。我們提出了?-reset重置策略，并概述了一種用于分析計算它們的預期效用的技術(shù)。我們描述了該策略的三種不同實現(xiàn)，并比較了它們在歷史ETH數(shù)據(jù)下的表現(xiàn)。給出? bin區(qū)間以及下一價格分布，我們能夠找到最優(yōu)的 ? 重置策略，通過在歷史價格數(shù)據(jù)上回測我們的策略，我們發(fā)現(xiàn)最優(yōu)?-reset策略的預期效用是Uniswap v2策略效用的 200 倍以上。

我們希望這項工作可以成為形式化和比較這些策略表現(xiàn)的第一步。這里提到的框架僅代表完整策略空間的一個子集，更豐富的策略類別也將根據(jù)最近的價格變動趨勢修改流動性分配以及重置策略。

在多流動性提供者（LP）背景下研究流動性提供問題將是有趣的，在 Uniswap v3 上進行的策略實證研究也會很有趣。

此外，Uniswap v3 和 gas價格之間存在著有趣的宏觀層面的聯(lián)系。如果gas費用低，則流動性提供者（LP）就會更頻繁地更新他們的頭寸，而這可能會導致gas價格的上漲。了解 Uniswap與gas價格之間的動態(tài)和關(guān)系是另一個有希望的研究方向。

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